General:
There are many Duas and Amaals in the month of Rajab. I am mentioning a few. If you want a detailed account of the Amaals you can refer to Mafati-Hal-Jinnah.
Daily Amaal: 1. Recite the following Dua/Supplication narrated by Imam Sajaad(as):
یَا مَنْ یَمْلِكُ حَوَائِجَ السَّائِلِینَ وَ یَعْلَمُ ضَمِیرَ الصَّامِتِینَ لِكُلِّ مَسْأَلَةٍ مِنْكَ سَمْعٌ حَاضِرٌ وَ جَوَابٌ عَتِیدٌ اللَّهُمَّ وَ مَوَاعِیدُكَ الصَّادِقَةُ وَ أَیَادِیكَ الْفَاضِلَةُ وَ رَحْمَتُكَ الْوَاسِعَةُ فَأَسْأَلُكَ أَنْ تُصَلِّىَ عَلَى مُحَمَّدٍ وَ آلِ مُحَمَّدٍ وَ أَنْ تَقْضِىَ حَوَائِجِى لِلدُّنْیَا وَ الْآخِرَةِ إِنَّكَ عَلَى كُلِّ شَىْءٍ قَدِیرٌ
2. Recite the following Dua/Supplication narrated by Imam Sadiq(as):
خَابَ الْوَافِدُونَ عَلَى غَیْرِكَ وَ خَسِرَ الْمُتَعَرِّضُونَ إِلا لَكَ وَ ضَاعَ الْمُلِمُّونَ إِلا بِكَ وَ أَجْدَبَ الْمُنْتَجِعُونَ إِلا مَنِ انْتَجَعَ فَضْلَكَ بَابُكَ مَفْتُوحٌ لِلرَّاغِبِینَ وَ خَیْرُكَ مَبْذُولٌ لِلطَّالِبِینَ وَ فَضْلُكَ مُبَاحٌ لِلسَّائِلِینَ وَ نَیْلُكَ مُتَاحٌ لِلْآمِلِینَ وَ رِزْقُكَ مَبْسُوطٌ لِمَنْ عَصَاكَ وَ حِلْمُكَ مُعْتَرِضٌ لِمَنْ نَاوَاكَ عَادَتُكَ الْإِحْسَانُ إِلَى الْمُسِیئِینَ وَ سَبِیلُكَ الْإِبْقَاءُ عَلَى الْمُعْتَدِینَ اللَّهُمَّ فَاهْدِنِى هُدَى الْمُهْتَدِینَ وَ ارْزُقْنِى اجْتِهَادَ الْمُجْتَهِدِینَ وَلا تَجْعَلْنِى مِنَ الْغَافِلِینَ الْمُبْعَدِینَ وَ اغْفِرْ لِى یَوْمَ الدِّینِ
3. Recite the following Dua/Supplication narrated by Imam Sadiq(as):
اللَّهُمَّ إِنِّى أَسْأَلُكَ صَبْرَ الشَّاكِرِینَ لَكَ وَ عَمَلَ الْخَائِفِینَ مِنْكَ وَ یَقِینَ الْعَابِدِینَ لَكَ اللَّهُمَّ أَنْتَ الْعَلِىُّ الْعَظِیمُ وَ أَنَا عَبْدُكَ الْبَائِسُ الْفَقِیرُ أَنْتَ الْغَنِىُّ الْحَمِیدُ وَ أَنَا الْعَبْدُ الذَّلِیلُ اللَّهُمَّ صَلِّ عَلَى مُحَمَّدٍ وَ آلِهِ وَ امْنُنْ بِغِنَاكَ عَلَى فَقْرِى وَ بِحِلْمِكَ عَلَى جَهْلِى وَ بِقُوَّتِكَ عَلَى ضَعْفِى یَا قَوِىُّ یَا عَزِیزُ اللَّهُمَّ صَلِّ عَلَى مُحَمَّدٍ وَ آلِهِ الْأَوْصِیَاءِ الْمَرْضِیِّینَ وَ اكْفِنِى مَا أَهَمَّنِى مِنْ أَمْرِ الدُّنْیَا وَ الْآخِرَةِ یَا أَرْحَمَ الرَّاحِمِینَ
4. Recite dua “Yaa man arjoohu” after every namaz.
5. Recite Salawaat at least 35 times daily.
6. Offer 2 Rakat namaz every night. In each rakat, after read Surah Hamd (حمد), recite Suratal Kafiroon 3 times and Surah Ikhlaas (توحید) once.
7. Do Istighfaar, أَسْتَغْفِرُ اللَّهَ الَّذِى لا إِلَهَ إِلا هُوَ وَحْدَهُ لا شَرِیكَ لَهُ وَ أَتُوبُ إِلَیْهِ (ask for forgiveness) and then give Sadaqa (charity).
8. Fasting on Thursday, Friday & Saturday (3 consecutive days) may earn sawaab of 900 years of Ebaadat (worship).
9. Fast on 1st of Rajab and recite Ziarate Waritha on 1st night & day.
10. Fast on Mondays.
11. Perform ghusl on 1st, 15th and last days.
12. Recite namaze shab as often as possible.
13. Recite “Laa ilaaha illallah” “لا إِلَهَ إِلا اللهُ” as often as possible. (At least 100)
14. All together in whole months of Rajab reciting 1000 times
أَسْتَغْفِرُ اللهَ ذَا الْجَلالِ وَ الْإِكْرَامِ مِنْ جَمِیعِ الذُّنُوبِ وَ الْآثَامِ
Allah Beneficent will forgive his/her sins.